Đề thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh lớp 12 THPT năm 2012 - 2013 môn Toán (vòng 2) Đề thi học sinh giỏi

Giới thiệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

(Đề thi chính thức)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN

Ngày thi: 19 tháng 10 năm 2012
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (4 điểm)

Cho số nguyên dương n. Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau:

Đề thi học sinh giỏi Toán

 

Bài 2. (4 điểm)

Tìm tất cả các hàm số Đề thi học sinh giỏi Toán

Bài 3. (4 điểm)

Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước dương là d1, d2, dk. Chứng minh rằng nếu d1 + d2 + ... + dk + k = 2n + 1 thì n/2 là số chính phương.

Bài 4. (4 điểm)

Cho ba đường tròn (C), (C1), (C2) trong đó (C1) và (C2) tiếp xúc trong với (C) tại B, C và (C1), (C2) tiếp xúc ngoài với nhau tại D. Tiếp tuyến chung trong của (C1) và (C2) cắt (C) tại hai điểm A và E. Đường thẳng AB cắt (C1) tại điểm thứ hai M đường thẳng AC cắt (C2) tại điểm thứ hai N. Chứng minh rằng:
Đề thi học sinh giỏi Toán

Bài 5. (4 điểm)

Cho một bảng ô vuông có 2012 x 2012 ô, mỗi ô đều điền vào một dấu + . Thực hiện phép biến đổi sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – , – thành +). Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi, bảng có thể có đúng 18 dấu – được hay không?

Download tài liệu để xem thêm chi tiết

Xem thêm Phổ thông trung học